Définition :
Soient \(E_1,\ldots,E_p\) des espaces vectoriels et \(E=E_1\times\cdots\times E_p\)
Soit \(x\in E,x=(x_1,\ldots,x_p)\) avec \(x_i\in E_i\)
Soit \(f:E\to F\) une application
Si pour tout \(i\in\{1,\ldots,p\}\) fixé,
Pour tout \(x_j\in E_j\) (avec \(j\in\{1,\ldots,p\}\)) (variable muette)
Pour tout \(y_i\in E_i\),
Pour tout \(\lambda\in{\Bbb R}\) (ou \({\Bbb C}\)), on a : $$f(x_1,\ldots,x_{i}+\lambda y_{i},\ldots,x_p)=f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_p)+\lambda f(x_1,\ldots,x_{i-1},y_i,x_{i+1},\ldots,x_p)$$ alors on dit que \(f\) est une application \(p\)-linéaire
(Espace vectoriel, Produit scalaire, //Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)